工程数学---线性代数与概率统计

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内容简介: 《工程数学——线性代数与概率统计》是在高等教育大众化和办学层次多样化的新形势下,结合工科学生工程数学教学的基本要求,在独立学院多年教学经验的基础上编写而成的.
《工程数学——线性代数与概率统计》系统地介绍了工程数学的基本理论,内容包括:线性代数、概率论、数理统计等. 本书保持了对数学基础课程的较高要求,同时力争适应工科学生的应用性特点,在内容和结构的处理上尽量削枝强干、分散难点,力求结构完整、逻辑清晰、通俗易懂,并附有大量的例题和习题.
《工程数学——线性代数与概率统计》适合高等院校工科各专业本科学生使用,也可供教师、工程技术人员参考.

目录:     录
 
第1章  行列式     1
1.1  行列式的定义        1
1.1.1 
全排列与逆序数         1
1.1.2 
二阶行列式、三阶行列式         1
1.1.3 
n阶行列式的定义      3
1.2  行列式的性质        5
1.3  行列式按行(列)展开     8
1.3.1 
行列式元素的余子式和代数余
子式         8
1.3.2 
行列式按某一行(列)展开
定理         9
1.3.3 
异乘变零定理    11
1.4  克莱姆法则   11
习题1      12
第2章  矩阵          14
2.1  矩阵的概念   14
2.1.1 
矩阵的定义         14
2.1.2 
几种特殊矩阵    15
2.2  矩阵的运算   16
2.2.1 
矩阵的加法         16
2.2.2 
矩阵的数乘         17
2.2.3 
矩阵的乘法         18
2.2.4 
线性方程组的矩阵表示    19
2.2.5 
矩阵的转置         20
2.2.6 
方阵的行列式    21
2.2.7 
方阵的幂    22
2.3  逆矩阵   23
2.3.1 
逆矩阵的概念    23
2.3.2 
矩阵可逆的判定         23
2.3.3 
逆矩阵的性质    26
2.3.4 
矩阵方程    26
2.4  矩阵分块        27
2.4.1 
分块矩阵的概念         27
2.4.2 
分块矩阵的运算         28
2.4.3 
分块对角矩阵    30
2.5  矩阵的初等变换   32
2.5.1 
线性方程组的消元解法    32
2.5.2 
矩阵的初等变换         34
2.5.3 
初等矩阵    35
2.5.4 
利用初等变换求逆矩阵    38
2.6  矩阵的秩        40
第3章  向量组的线性相关性     45
3.1  向量组及其线性组合   45
3.1.1 
维向量及其线性运算         45
3.1.2 
向量组的概念    46
3.1.3 
向量组的线性组合    47
3.2  向量组的线性相关性   49
3.2.1 
线性相关与线性无关的概念    49
3.2.2 
线性相关与线性无关的判定
方法         49
3.3  向量组的秩   52
3.3.1 
最大线性无关组及向量组
的秩.        52
3.3.2 
矩阵的秩与向量组秩的关系    53
3.4  向量空间        55
3.4.1 
向量空间    55
3.4.2 
基、维数与坐标         56
3.4.3 
基与基之间的过渡矩阵及坐标
变换         57
习题2      58
第4章  线性方程组的解     61
4.1  线性方程组的解的条件        61
4.1.1 
线性方程组解的情况         63
4.1.2 
线性方程组解的存在性    67
4.1.3 
线性方程组解的个数         68
习题3      72
4.2  线性方程组解的结构   75
4.2.1 
齐次线性方程组解的结构         76
4.2.2 
齐次线性方程组的基础解系    76
4.2.3 
非齐次线性方程组的解的
结构         79
习题4      82
第5章  相似矩阵及二次型          84
5.1  向量的内积、长度及正交性        84
5.2  方阵的特征值与特征向量   88
5.3  矩阵的相似与对角化   90
5.4  二次型   94
5.4.1 
二次型的概念与表示         94
5.4.2 
化二次型为标准形    98
5.4.3 
二次型的分类与判定         99
习题5      101
第6章  概率论的基本概念          104
6.1  随机事件的关系与运算        104
6.1.1 
随机试验    104
6.1.2 
随机事件    105
6.1.3 
样本空间    105
6.1.4 
事件之间的关系         106
6.1.5 
事件之间的运算         107
6.2  随机事件的概率   108
6.2.1 
概率的统计学定义    108
6.2.2 
概率的古典定义         110
6.2.3 
概率的几何定义         111
6.2.4 
概率的基本性质         112
6.3  条件概率        112
6.3.1 
条件概率的定义         112
6.3.2 
概率的乘法定理         113
6.3.3 
全概率公式         114
6.3.4 
贝叶斯公式         115
6.4  随机事件的独立性        116
习题6      118
第7章  随机变量及其分布          121
7.1  随机变量及其分布函数        121
7.1.1 
随机变量的概念         121
7.1.2 
随机变量的分布函数         122
7.2  离散型随机变量   124
7.2.1 
离散型随机变量及其概率
分布         124
7.2.2 
离散型随机变量的分布
函数         124
7.2.3 
几种重要的离散型随机变量的
概率分布         126
7.3  连续型随机变量   127
7.3.1 
连续型随机变量的分布
函数         128
7.3.2 
连续型随机变量的概率
密度         128
7.3.3 
常用的连续型随机变量的概率
分布         130
7.4  随机变量函数的分布   135
7.4.1 
离散型随机变量的函数的
分布         135
7.4.2 
连续型随机变量的函数的
分布         136
7.5  多维随机变量及其分布        139
7.5.1 
二维随机变量    139
7.5.2 
二维随机变量的分布函数         140
7.5.3 
二维离散型随机变量的联合
概率分布         141
7.5.4 
二维连续型随机变量的联合
概率密度         142
7.6  边缘分布与随机变量的独立性   144
7.6.1 
边缘分布    144
7.6.2 
随机变量的独立性    145
7.7  二维随机变量函数的分布   147
7.7.1 
和的分布    148
7.7.2 
最大值与最小值的分布    151
习题7      153
第8章  随机变量的数字特征     156
8.1  数学期望        156
8.1.1 
离散型随机变量的数学
期望         156
8.1.2 
连续型随机变量的数学
期望         157
8.1.3 
二维随机变量的数学期望         159
8.1.4 
随机变量函数的数学期望         160
8.1.5 
数学期望的性质         161
8.2  方差        163
8.2.1 
方差的概念         163
8.2.2 
方差的性质         165
8.3  矩、协方差与相关系数        166
8.3.1 
矩         167
8.3.2 
协方差与相关系数    167
8.3.3 
协方差和相关系数的性质         168
习题8      169
第9章  大数定律和中心极限定理     172
9.1  大数定律        172
9.1.1 
切比雪夫不等式         172
9.1.2 
切比雪夫大数定律    173
9.1.3 
伯努利大数定律         174
9.2  中心极限定理        174
习题9      176
第10章  数理统计的基本概念   178
10.1 
数理统计的基本概念及常用分布      178
10.1.1 
总体  178
10.1.2 
样本  179
10.1.3 
统计量       180
10.1.4 
常用分布  181
10.1.5 
分位点       183
10.2 
正态总体统计量的分布      185
10.2.1 
单个正态总体的统计量的
分布         185
10.2.2 
两个正态总体的统计量的
分布         189
习题10    192
第11章  参数估计       194
11.1 
点估计 194
11.1.1 
矩估计法  195
11.1.2 
极大似然估计  196
11.1.3 
估计量的评选标准  200
11.2 
正态总体参数的区间估计 201
11.2.1 
区间估计的概念       201
11.2.2 
单个正态总体参数的区间
估计         202
11.2.3 
两个正态总体参数的区间
估计         205
11.2.4 
单侧置信限       207
习题11    208
第12章  假设检验       211
12.1 
假设检验的基本概念 211
12.2 
正态总体参数的假设检验 213
12.2.1 
单个正态总体均值的假设
检验         213
12.2.2 
单个正态总体方差的假设
检验         215
12.2.3 
两个正态总体的假设检验       217
习题12    221
第13章  线性回归分析       222
13.1 
回归分析的基本概念 222
13.2 
一元线性回归      223
13.2.1 
一元线性回归的数学模型       223
13.2.2 
的最小二乘估计与经验
公式         223
13.2.3 
最小二乘估计的基本
性质         224
13.2.4 
建立回归方程后进一步的统计
分析         225
13.2.5 
一元非线性回归       230
习题13    232
附表         233
参考文献         244


前言: 前    言
工程数学是继高等数学之后大学数学课程中又一门重要的基础课,一般包括线性代数和概率统计两大部分. 线性代数中的矩阵、线性方程组在工程技术领域有着广泛的应用,概率论与数理统计则是解决和处理工程领域大量随机现象问题的有力工具. 实践证明,学生在学习这两部分内容并把它们应用于实际时,常常感到困惑,无所适从. 线性代数中,基本概念和重要结论多而抽象;概率统计不仅思维缜密,而且有异于确定性数学中所习惯的形式逻辑的思维方式. 因此,把握教学改革的发展趋势,探索教学体系和教学内容的变迁轨迹,编写一本能适应办学层次多样化形势需要的工程数学教材是非常有必要的.
工程数学作为高等院校理工科一门重要的基础理论课,对提高学生的素质,优化知识结构,培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决工程问题的能力,提高创新意识,并为后续课程的学习打下坚实的数学基础起着重要的作用.
我们结合在独立学院多年的教学实践,编写了本教材. 全书共13章,主要介绍线性代数、概率论和数理统计等基础知识. 本书内容紧扣教学大纲,力求结构严谨、逻辑清晰、通俗易懂,适合高等院校工科各专业学生和教师使用.
本书由吕陇担任主编,并负责全书的统稿工作。具体编写分工如下:第1~2章由李建生编写,第3~4章由郭中凯编写,第5~6章由姚小娟编写,第7章由任秋艳编写,第8~13章由吕陇、杨宏编写,附录材料与图表由李建生绘制.
本书在编写过程中得到了兰州理工大学技术工程学院的大力支持与帮助,在此表示衷心的感谢.
由于编者水平所限,书中尚有不妥及错误之处,恳请同行和读者批评指正.
 
 
                                          编  者  

书摘: 第1章 行 列 式
本章主要介绍阶行列式的定义、性质和计算方法;用行列式的定义和有关定理计算较简单的阶行列式的方法,以及用阶行列式求解元线性方程组的克莱姆(Gramer)法则.
1.1 行列式的定义
1.1.1 全排列与逆序数
定义1.1.1 由个不同的数组成的一个有序数组称为一个级(元)排列.所有的级排列的总数为.
在一个级排列中,若数,则称数与构成一个逆序.一个级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,记为.例如:
如果排列的逆序数为奇数,则称该排列为奇排列;如果的逆序数为偶数,则称该排列为偶排列;一个排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
例1.1.1 求下列排列的逆序数:
(1) ;(2) .
解 (1) 的逆序为:21,31,…,,,逆序数为.
(2) 所含逆序为:
和2构成逆序的有3,5,7,…,,共个;
和4构成逆序的有5,7,9,…,,共个;
和构成逆序的有,共1个.
逆序数为.
1.1.2 二阶行列式、三阶行列式
用消元法解二元线性方程组
(1.1.1)
当时,得式(1.1.1)的唯一解为
(1.1.2)
观察式(1.1.2)可知分子、分母都是由四个数相乘再相减而得. 其中分母都是由方程组(1.1.1)的四个系数确定,把这四个数按照它们在方程组(1.1.1)中的位置排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表
(1.1.3)
表达式称为数表式(1.1.3)所确定的二阶行列式,并记作
(1.1.4)
此时,方程组(1.1.1)的唯一解可表示为
由此可知,二阶行列式是由个元素按一定的规律运算所得到的一个数,这个规律性在行列式的记号中称为“对角线法则”,如图1.1.1所示.
图1.1.1
类似地,对于三元线性方程组
其对应的三行三列的数表
称为三阶行列式,记作
. (1.1.5)
比较上述定义,发现二阶行列式含有两项,三阶行列式含有六项,每行均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以相应的正负号,请读者结合全排列与逆序数的概念总结冠以相应的正负号的规律.
例1.1.2 行列式的充分条件是( ).
A. B. C. D.

所以,使行列式为零的充分条件是. 答案为D.
例1.1.3 解方程.
解 ,解得.
为解决实际问题的需要,只研究二阶和三阶行列式远远不够,为研究更高阶的行列式,需要介绍全排列与逆序数的概念.