实变函数论

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内容简介: 本书首先介绍了集合论和拓扑学的基础知识,然后结合微积分的发展简史与不完善之处,从分析学的角度系统地介绍了实变函数的基本理论框架.全书所列内容均由作者多年讲义结合国际上新的《实分析》教材内容整理而成,辅以数学史的注解,对初学者真正学懂这门专业课十分有益.


目录: 第 1章集合 ................................... 1
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合运算 ................ 2
1.2基数的概念 ....................... 8
1.3可数集和不可数集 ............13
习题 1......................................20
第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23
2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 ........................................23
2.1.1开集,内部,拓扑 .....23
2.1.2闭集,闭包,导集 .....27
2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ........................................31
2.2.1子空间 ...................31
2.2.2乘积空间 ...............32
2.2.3紧集 ......................33
2.2.4连续映射 ...............35
2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1开集的结构 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
习题 2......................................50
第 3章测度论 ...............................53
3.1外测度 .............................54
3.2可测集 .............................57
3.3可测集类 .........................61
3.3.1可测集的进一步性质 ........................................61
3.3.2一个不可测集的例子 ........................................63
3.3.3集合可测性的等价定义 ........................................64
3.3.4 L作为 B的完备化简介 ........................................66
习题 3......................................69
第 4章可测函数............................72
4.1可测函数的定义和基本性质 ........................................72
4.1.1广义实数集 ............72
4.1.2可测函数 ...............75
4.1.3几乎处处的概念 .....79
4.2简单函数 .........................80
4.3可测函数的极限性质和构造 ........................................83
4.3.1几乎处处收敛与近一致收敛 ........................................84
4.3.2依测度收敛和几乎处处收敛 ........................................86
4.3.3可测函数的构造 .....89
习题 4......................................91
第 5章 Lebesgue积分..................94
5.1 Lebesgue积分的引入:简单函数的积分 ....................................94
5.2测度有限集合上有界可测函数的积分 .......................................98
5.3 Lebesgue积分和 Riemann积分的关系 ................................... 103
5.4非负可测函数的积分 ....... 106
5.5一般可测函数的积分 ....... 111
5.6乘积测度与 Fubini定理 .. 118
5.6.1二维乘积测度空间 ........................................ 118
5.6.2 Fubini定理 ..........121
5.6.3乘积集合的可测性 ........................................ 127
习题 5.................................... 129
第 6章微分 ................................ 134
6.1积分的微分 .................... 134
6.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 ........................................ 135
6.1.2 Lebesgue微分定理 ........................................ 138
6.2函数的微分 .................... 141
6.2.1有界变差函数 ....... 141
6.2.2绝对连续函数 ....... 151
6.2.3跳跃函数的导数 ... 155
习题 6.................................... 158
附录 A选择公理的等价形式 .........163
习题7 ...................................... 167
附录 B一般测度与积分理论简介... 168
B.1一般测度空间 ................ 168
B.2积分 ............................. 170
B.3符号测度和 Randon-Nikodym定理 ....................................... 172
参考文献 ........................................ 175
索引 ........................................ 177


书摘: 第1章 集合
1.1集合
1.1.1集合的概念
集合是数学中最为基本的概念 .在通常讨论问题时 ,一般只采用描述性的定义 .通常我们把具有某种特性的对象全体看成一个集合 ,该集合中的对象称为元素.
关于集合的最基本的一些概念如子集、包含等读者在数学分析甚至高中数学课程中都已见过,不再赘述.
实际上 ,集合有严格的数学定义 ,关于集合的研究是基础数学的一个分支 ——集合论.
通常用大写字母 A, B, X, Y, ···表示集合,用小写字母 a, b, x, y, ···表示集合中的元素 . N, Z, Q, R分别表示全体自然数、全体整数、全体有理数以及全体实数构成的集合 . Z+, R+分别表示全体正整数和全体正实数构成的集合 .注意,按照近年来的习惯,集合 N中包含 0.
设 x为对象 , A为集合 . x ∈ A表示 x为 A中元素 ,或称 x属于 A.而 x .∈ A表示 x不是 A中元素. x ∈ A或 x .∈ A二者必居其一.设 P为某种性质 ,则具有性质 P的元素全体构成的集合 A通常表示如下: A = {x|x具有性质P },
其中 P可以是任意性质,如 P为方程 x2 . 1 = 0,则 A = {x|x2 . 1=0}.如果集合 A为有限集且可以明确它的所有元素 ,也可以列举出 A的元素 .例如 ,上面的集合 A = {.1, 1}.有时为了方便 ,也把集合 {x|x ∈ E, x有性质P }简写为
E(x有性质P ).例如 ,设 f(x)是集合 E上的一个函数 , c是一个实数 ,则集合 {x|x ∈ E, f(x)《 c}可简写为 E(f(x)《 c).以后,若无特别声明,所有函数均为实值函数.
1.1.2集合运算
1. (任意)无限交和并运算
设 {Aα}α∈Γ为集族,即 Γ为集合,对任意 α ∈ Γ , Aα是集合.集合
Aα = {x|存在α ∈ Γ使得x ∈ Aα}
α∈Γ
和 n Aα = {x|对任意α ∈ Γ, x ∈ Aα}
α∈Γ
分别称为集族 {Aα}α∈Γ的并和交.
例 1.1.1设 f, g为定义于集合 E上函数.对任意 c ∈ R,
h(x) = max{f(x),g(x)},x ∈ E.

{x|h(x) >c} = {x|f(x) >c}
{x|g(x) >c}.
证明对任意 x ∈ E,
x ∈{x|h(x) >c}当且仅当 h(x) = max{f(x),g(x)} >c当且仅当 f(x) >c或者g(x) >c当且仅当 x ∈{x|f(x) >c}或者x ∈{x|g(x) >c}当且仅当 x ∈{x|f(x) >c} {x|g(x) >c}.
从而结论成立.
∞11 ∞11
例 1.1.2 (a, b)= la + n,b . n l,[a, b]= 市(a . n,b + n).上面
n=1 n=1
两个等式中如果对某个 n出现区间的左端点大于右端点的情况 ,就将这一“区间”理解为空集.
证明设 x ∈ (a, b),则 a  n
N = max{N1,N2},则 x ∈ la + N 1 ,b . N 1 l,从而 x ∈ =1 la + n 1 ,b . n 1 l.
=1
为 la + n 1 ,b . n 1 l . (a, b),从而 x ∈ (a, b).这就证明了第一个等式.对任意 n,显然,[a, b] .(a . n 1 ,b + n1 ),从而
[a, b] . n∞(a . 1 ,b +1 ).nn
n=1
∞n
叫}1 =infZ+ ∈   反之,设 x ∈
∞市 n
=1
(a . n 1 ,b + n1 ),则对任意 n ∈ Z+,都有
∞n
11
a .   nn
于是,由
叫 n ∈ Z+叫b + n ∈ Z+}
a = supa . n1 }《 x《 infn1
即知 x ∈ [a, b].这就证明了第二个等式.
例 1.1.3 {x|f(x) > 0} = 叫x|f(x) >n1 }.
=1
证明和例 1.1.2类似,从略.
……